Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von by Ehrhard Behrends

By Ehrhard Behrends

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Second Order Equations With Nonnegative Characteristic Form

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Asso” ziativgesetz noch ein Kommutativgesetz . “. ¨ Ahnlich ist es mit Ausdr¨ ucken wie Weihnachtskarten und -p¨ ack” chen“, da wurde von links multipliziert“. “ Bemerkungen/Beispiele: In unseren ersten Beispielen f¨ ur K¨orper werden wir wieder die u ¨ blichen naiven“ ” Zahlenmengen als Anschauungsmaterial verwenden: 1. B. 4711), die kein multiplikativ inverses Element haben, obwohl sie von Null verschieden sind. Beachten Sie u uhrliche Formulierung der vorstehenden Aus¨ brigens die ausf¨ sage: Die Aussage Z naiv ist kein K¨ orper“ ohne den Zusatz mit der u ¨ blichen ” ” Addition und Multiplikation“ ist sinnlos, da eine Menge nur zusammen mit zwei fest vorgegebenen inneren Kompositionen auf K¨ orpereigenschaften hin untersucht werden kann.

P ∨ q W F W W W F W F 7) Genau dann“ ist die Abk¨ urzung f¨ ur die zwei Aussagen dann und nur dann“. Ausf¨ uhr” ” licher: Erstens soll p ∧ q wahr sein, wenn p und q wahr sind, und zweitens soll aus p ∧ q ist ” wahr“ folgen, dass p und q wahr sind.

Der gleiche Beweis lautet in mathematischer Kurzfassung: x+y =x ⇒ −x + (x + y) = −x + x = 0 A3 ⇒ (−x + x) + y = 0 A1 ⇒ 0+y =0 A3 ⇒ y = 0. 3. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 29 (Die Kurznotatation ⇒“ f¨ ur ... ) ” Der zweite Teil des Beweises verl¨auft v¨ollig analog: Man multipliziert mit x−1 und nutzt M1, M2 und M3 aus. A1 (ii) Da wir (i) schon bewiesen haben, brauchen wir nur x + 0 · x = x zu zeigen. Das ergibt sich so: x+0·x M2 = D = 1·x+0·x (1 + 0) · x A2 1·x x. 3. (iv) Der Beweis wird unter Verwendung von (iii) durch den Nachweis der Gleichung x + (−1)x = 0 gef¨ uhrt: x + (−1)x M2 = 1 · x + (−1)x D 1 + (−1) x = A3 = 0·x (ii) 0.

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