Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner by Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Priv.-Doz. Dr. Jens

By Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski (auth.)

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Naturlich ware es wiinschenswert, wenn wir auch schnell die Wurzel aus d in ¥p ziehen konnten. Bisher konnen wir die Wurzel finden, indem wir eine Primitivwurzel £ modulo p suchen und dann expr ( \ logr d) berechnen, wobei jedoch die Berechnung von logr d sehr langsam ist. 15 Sei p eine Primzahl mit p = 3 mod 4 und d ein quadratischer Rest modulo p. Dann ist eine Losung von xl = d mod p. Beweis: {d^\ =d^- =dR21 -d=(-jd =d mod/7. • Im Algorithmus von Tonelli und Shanks wird dieses Lemma auf andere Primzahlen ange£+1 passt.

Beweis: Punkt 1) folgt direkt aus der Definition. Die zweite Aussage ist fiir a = 0 mod p trivial. Sei also a ^ 0 mod p. 17 von Euler (a 2 ) 2 = ap~l = 1 mod p gilt. , also 1 oder —1 modulo p. Da auch ( - I nur die Werte 1 und —1 annimmt, reicht es zu untersuchen, wann beide 1 sind. Sei a—^1 fiir eine Primitivwurzel £ modulo p und / G N. Dann ist a 2 = £ 2 mod p. Wegen ord£ = p — 1 ist dieser Ausdruckgenau dann gleich 1, falls p—\\ 2 -> a ^ so ^ a ^ s ^ gerade ist. Nach dem vorangegangenen Lemma ist dies Equivalent dazu, dass f | J = 1 ist.

26 Seien p = 11, q = 13 und n = pq = 143 ihr Produkt. Bestimmen Sie (p(n) und finden Sie ein e > 1 mit ggT(e, (p(n)) = 1. Dann bestimmen Sie d mit ed = 1 mod (p(n). Kodieren Sie daraufhin x = 17 unter der Einwegfunktion E(x) = xe. 27 Sei p eine Primzahl mit p = 1 mod 4. Zeigen Sie, dass a = ( ^ - ) ! die Gleichung a2 = — 1 mod /? erfullt. Benutzen Sie das Gezeigte, um die Gleichung x2 = — 1 fur /? = 5,13,17,29 zu losen. 28 Eine exakte Sequenz abelscher Gruppen ist ein Diagramm bestehend aus abelschen Gruppen und Homomorphismen der Form derart, dass Imcp^_i = Kercp^ fur 1 < k < n + 1 gilt.

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