Wavelets mit Anwendungen in Signal- und Bildverarbeitung by Jöran Bergh, Fredrik Ekstedt, Martin Lindberg, M. Stern

By Jöran Bergh, Fredrik Ekstedt, Martin Lindberg, M. Stern

Gelungene Kombination aus Monografie und Handbuch: Sie spricht Leser an, die sich mit den grundlegenden mathematischen Ideen und Techniken der Wavelets vertraut machen und zugleich wissen m?chten, wie die Theorie derzeit angewendet wird. Das Buch setzt Kenntnisse ?ber Anwendungen der linearen Algebra, der Fourierreihen und Fourierschen Integrale voraus, weitere Kenntnisse sind ebenso w?nschenswert. Eine allzu ?bertriebene Pr?zision w?rde jedoch zu hohe Anforderungen an die Leser stellen. Die L?sung des Dilemmas ist ein Kompromiss: Die Autoren verzichten auf einige mathematische information und verweisen stattdessen auf weiterf?hrende Literatur.

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Zum Beispiel werden wir die zweidimensionale diskrete Fourier-Transformation definieren. In der Bildverarbeitung ist es nat¨ urlich, mit gesampelten Funktionen zweier Ver¨ anderlicher zu arbeiten. Diese Funktionen sind auf dem ganzzahligen Gitter t Z2 := {(kx ky ) : kx , ky ∈ Z} definiert. Das ganzzahlige Gitter Z2 kann als Unterraum von R2 mit ganzzahligen Elementen angesehen werden und ein Element k ∈ Z2 wird mitunter als Multi-Index bezeichnet. Ein Grauwertskalenbild l¨aßt sich als Funktion ur die f : Z2 → R darstellen4 .

Das bedeutet, daß P (ω) gerade und reellwertig ist. Die Orthogonalit¨at impliziert demnach, daß die Koeffizienten im Produktfilter symmetrisch sein m¨ ussen, das heißt, pn = p−n . 4 u ¨ ber den linearen Phasengang und Symmetrie. 12) schreiben. Diese Bedingung wird erneut auftreten, wenn wir orthogonale Wavelet-Basen untersuchen. Wir hatten bereits fr¨ uher festgestellt, daß der einzige Unterschied darin besteht, daß f¨ ur Wavelets die linke Seite gleich 1 sein sollte. Biorthogonale Basen Wir erinnern uns daran, daß wir eine orthogonale Filterbank als Realisierung der Darstellung eines Signals in einem speziellen Typ einer zeitdiskreten Basis auffassen konnten.

1. Wir definieren L2 (R) als die Menge aller Funktionen f (t), f¨ ur die ∞ −∞ 2 |f (t)| dt < ∞. ⊓ ⊔ Das ist ein linearer Raum mit der Norm ∞ 2 f = −∞ 1/2 |f (t)| dt . Die drei fundamentalen Eigenschaften der Norm sind 1. f ≥ 0 und f = 0 ⇒ f = 0, 2. cf = |c| f f¨ ur c ∈ C, 3. f + g ≤ f + g (Dreiecksungleichung). Die L2 -Norm kann als Fehlermaß verwendet werden. Ist f eine Approximation von f , dann besteht eine M¨ oglichkeit der Quantifizierung des Fehlers darin, ur daß man f − f bildet. Man sagt, daß eine Folge (fn ) von Funktionen f¨ n → ∞ (in L2 ) gegen den Grenzwert f konvergiert und man schreibt fn → f , ur n → ∞.

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